Sì! In effetti, penso che tu sia sulla buona strada per fare meglio dei tuoi colleghi! Impiegare più tempo per capire qualcosa non è qualcosa di cui essere orgogliosi! Non è necessario reinventare la ruota. Se qualcuno può aiutarti a capire qualcosa, faresti bene a farne uso. Allo stesso modo, faresti bene a frequentare le lezioni, ottenendo così aiuto dal professore, invece di restare a casa con gli assiomi ZFC e tentare di derivare l'intera matematica da zero.

La mia esperienza nel porre domande su Stack Exchange indica anche che scrivere semplicemente il problema in una forma che gli altri possano capire è di grande aiuto per chiarire la mia comprensione del problema. In effetti, ho risolto alcuni dei miei problemi semplicemente iniziando a scrivere una domanda (mai posta).

Ovviamente, questo non significa che dovresti affidare la tua comprensione ad altri. Dovresti farlo in modo da poter spiegare il concetto agli studenti del prossimo anno senza aiuto (rispondi ad altre domande SE già che ci sei!). Ma anche allora dovresti sentirti libero di chiedere aiuto per i problemi del prossimo anno.

Prima di tutto, credo che questo sia estremamente comune in questi giorni. Noto sempre di più gli studenti che trascurano di sviluppare importanti capacità di problem solving e sviluppano invece ottime capacità di "google-fu" e "stack-exchange-fu" per raggiungere gli stessi obiettivi.

Ora, non capire mi sbaglio, SE-fu è un'abilità formidabile da avere. Proprio come sei preoccupato di usare troppo Internet e di fare affidamento su di esso come una stampella, alcune persone dovrebbero sinceramente preoccuparsi di avere il problema opposto di cercare ostinatamente di capire tutto da sole anche se ci vogliono settimane o mesi e rifiutano chiedere aiuto. Questo è semplicemente estremamente inefficiente. Queste persone possono in effetti diventare eccellenti risolutori di problemi se hanno abbastanza tempo, ma non è solo un approccio pratico per coprire la grande quantità di materiale richiesta da una moderna educazione matematica.

Quindi quello che sto dicendo è che è una giusta quantità di utilizzo dello stack-exchange che può essere davvero utile per te. Qualcuno che fa il giusto uso della matematica.SE e altre fantastiche risorse online possono davvero aumentare la loro capacità di padroneggiare argomenti complessi e accelerare il processo di apprendimento rispetto ai loro coetanei che non utilizzano tali risorse. E poi ... c'è sicuramente anche una quantità sbagliata di utilizzo dello stack-exchange. È certamente possibile fare troppo affidamento su di esso, o più in generale fare troppo affidamento sul chiedere ad altre persone di aiutarti a capire le cose quando rimani bloccato (prima che esistesse SE esistevano anche persone con tali tendenze, si limitavano a tormentare le loro amici e compagni di classe con molte domande invece di usare google / SE).

Quindi, questo è un difetto fatale o un'indicazione che è improbabile che tu abbia successo? Assolutamente no. Dalla tua descrizione sembra una cattiva abitudine nel peggiore dei casi, ma che probabilmente condividi con molti altri studenti (intendo probabilmente qualcosa come il 70% di loro, se interpretiamo il tuo abitudine di includere un uso intenso di google e non solo di SE).

Ti consiglio comunque di lavorare attivamente per scuotere questa abitudine e di investire più tempo e sforzi nel cercare di risolvere i problemi da solo prima di rinunciare e chiedere aiuto. Scollarsi quando si rimane bloccati è un'abilità in sé e per sé e implica importanti abilità secondarie come imparare a identificare quando si ha un grave malinteso su un problema, imparare a credere nella propria capacità di risolvere i problemi da soli, imparare a siate attenti ai piccoli dettagli e probabilmente ad altre cose ugualmente importanti ma che farei fatica ad articolare a parole. Quando cerchi la risposta o chiedi aiuto su SE, finisci per risolvere un problema specifico a breve termine (cercando la risposta alla domanda specifica che devi risolvere), ma ti privi di opportunità più ampie per acquisire questi problemi molto preziosi- capacità di risoluzione. Tuttavia, non è certamente troppo tardi per iniziare, e la tua tendenza a fare affidamento sull'aiuto suona abbastanza lieve in ogni caso, se esiste. Buona fortuna!

Non mi preoccuperei troppo. Sembra che tu stia facendo ottimi progressi. Sei ancora uno studente universitario, hai un sacco di tempo davanti a te!

Ci sono molti buoni modi per imparare la matematica. Parlare con gli altri (anche su Internet) è uno. Permettere a te stesso di rimanere bloccato e sforzarti di trovare le tue prove è un altro.

Se ritieni che le tue abitudini di studio si siano sbilanciate troppo verso il primo, ti consiglio di provare il secondo approccio . (Il che non significa che devi cambiarlo in modo permanente.) Ad esempio, scegli un corso o un libro e prova a superarlo senza SE. Guarda cosa succede!

"... a meno che tu non abbia letto un libro di testo e abbia tentato di dimostrare prima ogni teorema, non capirai veramente l'argomento"

Sciocchezze! Questo è un pensiero ansioso e perfezionista, e interiorizzare pensieri come questo alla fine mi ha portato a lasciare il mondo accademico. Sentivo che non avrei potuto proseguire la mia ricerca se non avessi compreso appieno tutto, dai primi principi. Rimasi bloccato per settimane cercando e fallendo di comprendere una particolare minuscola sfumatura della teoria della probabilità. Inutile dire che è stato estenuante e sono riuscito a malapena a finire la mia tesi di master.

Il fatto è che l'apprendimento è un processo continuo e non devi capire tutto perfettamente per andare avanti. Puoi imparare mentre procedi.

Invece di guardare le tue domande su Math SE come suggerisce Ethan Bolker, lascia che ti dica cosa cercherò e valuterò invece, e poi lasciati fare l'auto-valutazione (che è anche un'importante capacità da sviluppare come ricercatore!).

Fondamentalmente, guarderei a se le tue domande sono ben accolte . Se colpisci i tratti distintivi di una "buona domanda" (come definita in molti siti SE), probabilmente stai beneficiando della tua interazione con Math SE . Per elencare alcune di queste caratteristiche di buone domande:

• mostra che hai riflettuto sul problema,
• mostra che hai tentato di risolvere il problema da solo,
• mostra che comprendi il materiale.

Se avessi una buona guida e supervisione, probabilmente saresti in grado di discutere queste cose con il tuo consulente. Se avessi molti colleghi con interessi simili, saresti in grado di discutere di queste cose con i tuoi pari. Né il tuo consulente, né i tuoi colleghi, né la comunità di Math SE apprezzerebbero se venissi a chiedere aiuto dimostrando che non hai fatto alcuno sforzo per comprendere i problemi da solo.

Quindi se le tue domande sono non ben accolto, SE potrebbe tirare il tuo peso e, allo stesso modo in cui la comunità non apprezza le domande che mostrano uno scarso impegno di ricerca, un potenziale consulente non svilupperebbe la fiducia nella tua comprensione e dedizione se ti aspettassi che ti servano tutte le risposte.

Inoltre, e un modo eccellente per approfondire la tua comprensione della matematica (o di qualsiasi argomento, davvero) è iniziare a rispondere alle domande degli altri . Hai bisogno di una comprensione più profonda del materiale per spiegare qualcosa in modo chiaro e conciso. Sarebbe come spiegare un argomento a uno dei tuoi colleghi che chiede aiuto.

Infine, vorrei sottolineare che non tutti hanno lo stesso stile di apprendimento : alcune persone traggono maggiori benefici dallo studio esclusivo con un libro di testo, alcune persone traggono vantaggio dall'uso di aiuti visivi o dal disegno e altre le persone (me compreso) lavorano e imparano (e escogitano nuove idee!) meglio quando interagiscono con altre persone.

Per riassumere: se stai facendo domande ben accolte e fornendo risposte ben ricevute su Math SE (o un simile SE tecnico) probabilmente ne stai beneficiando simile a quello che potresti ottenere da un buon consulente e colleghi con interessi simili. Questo è particolarmente vero se hai uno stile di apprendimento interattivo; stavi semplicemente cercando il metodo di apprendimento più efficace che si adattasse al tuo stile di apprendimento che fosse possibile nella tua situazione.

_{^{Su una nota personale: ero molto più attivo su Stack Overflow durante il mio BSc e MSc. Il grafico della mia attività e della mia reputazione segue più o meno i miei programmi di progetto e seminario: mi avevano richiesto di pensare a più di quanto dovevamo fare per le lezioni, o di combinare il materiale del corso in modi nuovi. Essere in grado di ottenere feedback sulle mie idee e approcci è stato inestimabile per il mio apprendimento e la mia comprensione.}}

Nessuno conosce ancora gli effetti educativi della dipendenza da SE, soprattutto perché tu e la tua generazione siete i canarini nella miniera di carbone . La maggior parte degli esperti che rispondono alle domande sui siti tecnici della SE sono persone che hanno completato la loro formazione universitaria prima che esistesse la SE, e alcuni prima ancora che Internet fosse in uso regolare. Quelli di noi che rispondono alle domande su questi siti SE tecnici si affidano agli studenti che usano questa struttura per avere un buon giudizio su quando fare affidamento su questa assistenza li aiuta ad imparare, invece di essere un sostituto dell'apprendimento. Dal nostro punto di vista, speriamo sicuramente che questa assistenza aiuti la tua comprensione del materiale e cerchiamo di inquadrare le nostre risposte in questo modo, ma contiamo su te per farci sapere come funziona il tutto , non il contrario.

Quindi ecco alcune specifiche della mia domanda:

• La ricerca di SE per problemi di compiti a casa è comune per gli studenti di matematica?

Probabilmente sei in una posizione molto migliore per giudicare questo rispetto alla maggior parte di noi. Chiedi agli studenti della tua facoltà e vedi se usano questa risorsa o se sei solo tu. Ci sono certamente un numero ragionevole di domande degli studenti su SE.math, ma il volume è ancora molto al di sotto del numero di studenti universitari di matematica che studiano attualmente. Ciò suggerisce che una piccola percentuale di studenti di matematica utilizza SE per porre domande, anche se molti potrebbero cercare risposte a domande esistenti su quella struttura.

• In che modo ciò influirà sulla comprensione di uno studente del materiale?

Questo dipende davvero dall'esercizio del buon senso da parte dello studente, quindi ditecelo! SE ti ha aiutato o ti ha ostacolato? Le risposte SE hanno funzionato come uno strumento per assistere il tuo apprendimento o come sostituto per l'apprendimento? Ci sono stati casi in cui hai usato una risposta SE per sostituire il dover imparare a capire un pezzo di materiale? Era comune?

• In che modo farlo si collega alla propria capacità di fare ricerca?

A meno che l'uso di risposte SE non abbia ostacolato il tuo apprendimento precedente, non c'è motivo di pensare che imporrà un limite alla tua capacità di imparare a fare ricerca. Ci vuole molto tempo per imparare a fare ricerca, motivo per cui abbiamo programmi di dottorato di ricerca, ma se sei in grado di entrare in uno di quei programmi, non c'è nessuna ragione intrinseca per cui dovresti non avere la capacità di apprendere il materiale e alla fine avere successo in quest 'area. Citi il ​​commento del tuo professore secondo cui non capirai veramente un argomento a meno che tu non tenti di provare ogni teorema nel libro di testo pertinente. Direi che è piuttosto ambizioso e presume che il libro di testo sia una sorta di tavoletta d'oro che delinea perfettamente tutte le conoscenze necessarie sull'argomento. In pratica, questo livello di impegno non si verificherebbe necessariamente e non è una condizione necessaria per la competenza. Man mano che acquisisci esperienza in una materia, sarai naturalmente curioso di controllare e ricontrollare tutte le basi, quindi probabilmente scoprirai che a un certo punto imparerai a dimostrare tutto o tu stesso la maggior parte dei teoremi rilevanti. Ciò potrebbe avvenire lentamente, man mano che impari di più sulla tua materia e la colleghi ad altre aree rilevanti della matematica.

Per quanto riguarda la formazione alla ricerca, vale la pena notare che la principale differenza tra matematica universitaria, rispetto alla matematica di ricerca, rispetto alla SE, è che quest'ultima comporterà problemi che sono sufficientemente difficili da essere difficili da ottenere risponde su SE. A livello di ricerca universitaria, ci si aspetta che tu stia diventando qualcuno che sta diventando un esperto del tuo argomento, quindi a quel punto il pool di persone che possono aiutarti è diminuito notevolmente. Alcuni ricercatori fanno domande su SE.math relative ad argomenti di ricerca e talvolta ottengono risposte utili, ma spesso la complessità / oscurità dell'argomento è tale che è difficile ottenere assistenza attraverso questo mezzo.

• Quali sono alcuni modi possibili per rimediare a questo oltre a riapprendere completamente il materiale?

Non ci hai davvero detto esattamente quali carenze ritieni di avere e che stai provando rimediare. Presumibilmente hai imparato qualcosa nei corsi che hai superato, quindi anche se ci sono lacune nella tua conoscenza, colmare queste lacune richiederebbe solo un parziale riapprendimento del materiale. Certamente, se ritieni che ci siano aree della tua educazione matematica in cui non hai acquisito le conoscenze pertinenti, torna indietro e riprova e prova alcuni problemi pratici finché non ottieni la comprensione che ti sei perso.

• Quanto dovrò pagare in futuro per lo scambio di pile durante i miei corsi?

Come ho detto all'inizio, tu sei il canarino nella miniera di carbone qui, quindi stiamo aspettando di vedere i risultati, e poi puoi dircelo.

Ci sono molti aspetti della formazione per essere un matematico. Ad esempio, vuoi imparare:

• Teoria matematica (definizioni, teoremi chiave, costruzioni chiave)
• Ricerca nella letteratura (capire cosa c'è in quali articoli, trovare risultati nei libri , utilizzando Google per trovare idee pertinenti)
• Trucchi matematici e tecniche di dimostrazione
• Come affrontare un problema difficile che richiede ore o giorni per essere risolto. Che tipo di tecniche usi per sbloccarti? Come gestisci psicologicamente l'essere bloccato? Come decidi quando rinunciare a un problema o approccio?
• Scrivere documenti di matematica (occuparsi del blocco dello scrittore, creare diagrammi, organizzazione, chiarezza delle prove)
• Collaborazione (imparare come per risolvere problemi insieme ad altre persone, capire come imparare e spiegare ai tuoi colleghi, ecc.)

La cattiva notizia è che sembra che ti sei concentrato esclusivamente sui primi due elenchi puntati a scapito degli altri. Rimanere bloccato sul 30% dei problemi suggerisce che sei piuttosto indietro rispetto a dove dovresti essere in termini di trucchi matematici e tecniche di dimostrazione. Se vai in una scuola di specializzazione che ha un esame preliminare, probabilmente avrai difficoltà con esso. Non avere l'esperienza di lottare davvero con le domande su cui sei bloccato, significa che sei impreparato per l'esperienza psicologica della ricerca e per capire come lavorare su problemi a cui nessuno conosce la risposta. È importante cercare di imparare la differenza tra essere bloccati e vicini a una risposta ed essere bloccati e lontani da una risposta. Rivolgendoti esclusivamente a stackexchange invece di parlare con i tuoi compagni studenti e i tuoi insegnanti di persona, sei rimasto indietro nell'apprendimento della collaborazione.

La buona notizia è che hai tempo per imparare queste cose durante il resto dell'anno e durante il tuo primo o due anni di scuola di specializzazione prima di passare alla ricerca. Ma devi davvero iniziare a pensare agli aspetti della tua formazione matematica oltre il semplice apprendimento della teoria matematica. Devi smettere di arrendersi presto ai problemi e devi parlare con le persone di persona dei problemi su cui sei bloccato piuttosto che trovare risposte online.

In realtà, la risposta a questa domanda è molto semplice.

Tutto ciò che puoi trovare su Internet è già stato fatto da qualcun altro.

Quello che devi fare in La ricerca di dottorato è qualcosa che non è stato ancora fatto da nessun altro.

Ovviamente, il Web potrebbe ancora darti buone idee sulle tecniche, ecc. Ma SE o (qualsiasi altro forum web) in realtà non "farà il tuo dottorato di ricerca per te" nello stesso modo in cui può "fare i compiti per te", anche se hai evitato di "copiare" direttamente ciò che hai scoperto dai siti web.

Alla fine scoprirai anche che ci sono pochissime persone al mondo che stanno lavorando a qualcosa di molto simile a quello che stai facendo - e quella manciata di persone potrebbe non frequentare SE, o in qualsiasi altro posto tu cercano consigli sul Web!

Puoi continuare con questo approccio fino alla scuola di specializzazione e fino alla tua carriera di matematico professionista.

Ad esempio, ho almeno una serie di documenti che sono iniziati a causa delle risposte sono arrivato a un post mathoverflow quando ero confuso su qualcosa.

Volevo rispondere dopo aver esaminato il tipo di domande e risposte che hai pubblicato su Math SE. Sono rimasto sorpreso di non trovarne nessuno collegato dal tuo profilo.

Stack Exchange può essere un buon posto per "discutere di matematica", ma se tutto ciò che facevi era in agguato, leggendo le voci di altre persone, non avresti discusso molto e potresti non essere pronto per ulteriori studi come altri qui suggerisci.

Immagino che questa sia una di quelle situazioni in cui troppe persone hanno questa mentalità del "non inventato qui". È qualcosa che ognuno di noi attraversa ad un certo punto della nostra vita. Ad esempio, un programmatore principiante potrebbe insistere sul fatto che lui o lei deve scrivere il proprio codice per tutte le funzioni che desidera implementare, incluso evitare l'uso di librerie, funzioni, open source, liberamente disponibili o altrimenti accettabili plug-in o altri aiuti. Per lo stesso motivo (e questo è qualcosa con cui ho esperienza personale) un principiante 3D potrebbe insistere nel rifiutare di utilizzare qualsiasi texture art, dati di mesh o informazioni sui fotogrammi chiave che non avevano esplicitamente creato da soli, anche se servisse allo scopo alcune aree di un concetto che avrebbero potuto ricercare in primo luogo.

Non c'è niente di sbagliato nell'usare un lavoro correttamente attribuito per sostenere il tuo caso ed esaminare il lavoro di altre persone (e collaborare con altre persone ) è spesso un modo fantastico e accelerato per imparare a fare le cose. Mi piacciono molto la modellazione 3D, l'animazione e il rendering, ma in matematica mi piacciono moltissimo. Ho imparato quel tanto che basta per essere in grado di lavorare sulle mie cose 3D e utilizzo strumenti di calcolo che semplicemente non esistevano 30 anni fa per fornirmi l'assistenza di cui ho bisogno ogni volta che lavoro su qualsiasi cosa che richieda calcoli.

Nella mia esperienza, non sarai trattato male dalla comunità accademica per aver utilizzato il lavoro di altre persone a sostegno del tuo, purché tu sia aperto e onesto nel farlo. Questa è la questione chiave qui. La disonestà accademica è severamente disapprovata per ottime ragioni, ma finché non ti impegni in simili imbrogli, penso che starai bene.

Se stai cercando le soluzioni alle domande esatte (o banalmente simili) che ti vengono poste durante i compiti, allora è un imbroglio. È un male per tutti i motivi per cui barare è male:

1. non stai facendo il compito che il professore vuole nel modo in cui vogliono che tu lo faccia; stai scavalcando la sfida.
2. La tua prestazione nel compito è un feedback errato al professore che capisci il problema, potenzialmente inducendolo ad accelerare o almeno non si preoccupa di rivedere e tornare indietro tanto. Per lo meno dovresti citare le fonti online che hai usato in modo che sappiano. Ciò fornisce una buona opportunità per testare la tua teoria secondo cui è perfettamente kosher utilizzare tali fonti.
3. Il tuo voto non rappresenterà le tue capacità come previsto, e potenziali scuole di specializzazione e datori di lavoro saranno indotti a pensare in errore sei più bravo in matematica di quanto sei realmente. Questo è anche palesemente ingiusto per tutti coloro che non hanno cercato soluzioni.

Per quanto riguarda la riscrittura dei teoremi dopo averli compresi, è meglio di niente di sicuro, ma non potresti affermare lo stesso dopo "collaborare" per ottenere le risposte? Questo non rende ok gli imbrogli. Molte altre risposte qui si concentrano sulla questione dell'apprendimento, ma potresti anche imparare meravigliosamente plagiando il lavoro degli altri studenti, hackerando il laptop del professore per le soluzioni ed eseguendo altre forme di imbroglio palese, purché tu lo abbia fatto "correttamente". Ehi, non possiamo aspettarci che tu risolva da solo ogni problema del libro, giusto?

Quando ho sottolineato questo punto in un commento, è stato accolto con una sorprendente quantità di allarme e il commento è stato persino cancellato. A chiunque abbia una tale mentalità suggerirei di considerare il problema visto da un livello più alto di sviluppo morale. Vedi qui: Livelli di sviluppo morale di Kohlberg. Ciò che conta è il principio universale alla base delle regole contro gli imbrogli, che ho elencato sopra, non quello con cui puoi cavartela a causa di professori meno esperti e manuali degli studenti obsoleti.

Per quanto riguarda la ripetizione di ogni dimostrazione in un libro di testo, questo sta creando una falsa dicotomia. Ci sono più alternative tra gli estremi di imbrogliare tutti i problemi rispetto alla riscrittura di un libro ricco di contenuti con gli occhi chiusi. Quella via di mezzo è il compito del tuo istruttore di trovare per te. Non capisci davvero la matematica a meno che tu non possa rifarla da solo senza prima conoscere la risposta. Sì, è un dato di fatto. Potresti o meno aver bisogno di capire ogni teorema in un particolare libro. Dipende dal libro, la maggior parte non è nemmeno sottoposta a revisione paritaria e ha un mix di argomenti chiave e preferenze personali dell'autore. Il compito del tuo istruttore è darti da mangiare materiale e un lavoro di pratica stimolante un po 'alla volta in modo che tu possa seguire e tenere il passo.

Per quanto riguarda le tue domande specifiche, sì, è molto comune come tutti gli imbrogli. La visione moderna degli studenti sembra essere che una laurea vale milioni come una sorta di biglietto di lavoro, mentre il merito è praticamente irrilevante. Ti farà molto più male di quanto pensi perché la tua tendenza sarà quella di cercare aiuto proprio nei momenti in cui non dovresti; mentre sei motivato a fare i problemi da solo quando sono facili e non sei sfidato. La competenza richiede Pratica deliberata, il che significa aumentare la sfida, non solo lavorare facilmente su problemi o leggere come gli altri hanno risolto i problemi. Questo fornisce anche la struttura per rispondere al resto delle tue domande. Sì, lavorare su un intero libro è un modo per ottenere questa sfida crescente. Ma un modo migliore è fare solo alcune parti chiave in un buon ordine da un libro davvero buono. Usa stackexchange per trovare queste risorse superiori. Un altro modo ovviamente è seguire un corso con un bravo istruttore che ti guidi attraverso il materiale e ti fornisce assistenza quando sei bloccato, piuttosto che cercare assistenza su Internet.

Mentre gli studenti leggono libri di testo e risolvono esercizi, ma non hanno accesso ad essi durante la scrittura dell'esame vero e proprio. Così è il caso di StackExchange. Non puoi accedervi mentre scrivi l'esame vero e proprio. Qualunque sia il caso che segui, fintanto che hai superato bene gli esami, perché dovrebbe essere importante?

A proposito, se ti iscrivi a PHD, usa mathoverflow.