Oggigiorno puoi ottenere feedback e risposte alle domande da luoghi come MathStackExchange e MathOverflow. La maggior parte delle risposte sono (nella mia osservazione) o del tutto competenti o rapidamente corrette da altri. Buon controllo di qualità. No, non sarebbe la stessa cosa che avere un buon consigliere (idealmente uno studioso di livello mondiale sull'argomento) con cui parli di persona ogni settimana. Tuttavia, questi siti possono fornire indicazioni.

Inoltre, alcune delle persone più anziane a cui piace contribuire a tali siti potrebbero essere disponibili a contattare direttamente via email, ecc. (La scuola di specializzazione non significa "prendere appunti durante le lezioni" di per sé, ma significa avere accesso alle osservazioni informali di ottimi matematici e poter porre loro domande immediatamente, sul momento.)

Dichiarazione di non responsabilità: sono un matematico, ma faccio ricerche in informatica.

La mia osservazione è che tutta la matematica, ma soprattutto la matematica di livello di ricerca ha molte caratteristiche di un folclore. È molto più facile quando qualcuno te lo spiega, anche di più se in modo informale. Leggere libri aiuta, naturalmente, ma per me una rapida spiegazione informale fatta in cinque minuti potrebbe sostituire un noioso esercizio di formalismo per la comprensione per alcuni giorni. Ovviamente, avresti ancora bisogno di essere in grado di ottenere una descrizione formale e completamente corretta. Ma è molto più facile, quando hai già una comprensione informale.

Per fare un esempio, il determinante è in realtà un volume orientato del n - parallelotopo dimensionale attraversato con vettori componenti della matrice. Confronta questo con una definizione di quasi tutti i libri universitari sull'algebra lineare.

Darò una risposta basata sull'esperienza personale. La mia situazione non è esattamente come la tua, ma potrebbe essere abbastanza simile da fornire alcune informazioni.

Ho recentemente completato la mia laurea in fisica e matematica applicata. Dopo aver terminato ho deciso che ero più interessato alla matematica pura e volevo proseguire in questa scuola elementare. Ho finito per non entrare in nessuno dei programmi di dottorato che volevo (probabilmente a causa della mancanza di pura esperienza di matematica), quindi sono stato lasciato nel limbo, per così dire, volevo ancora studiare matematica ma non ero ancora in grado di iscrivermi a un corso di laurea.

La mia soluzione era inviare un'e-mail ad alcuni professori di un'università locale che avevo scoperto fare cose in qualche modo correlate a ciò che mi interessava. Ho detto loro la mia situazione e ho spiegato che stavo solo cercando di saperne di più sulla loro ricerca e matematica in generale. Questo ha finito per funzionare e ora frequento regolarmente seminari all'università e li incontro ogni tanto per discutere solo di matematica.

Ho trovato molto utile essere in grado di confrontarmi faccia a faccia conversazioni con altri matematici, anche se la maggior parte studio da sola a casa. Sebbene Stack Exchange sia una risorsa preziosa, non credo che possa sostituire adeguatamente questa interazione.

Vorrei sottolineare che non sono sicuro che la mia esperienza sia tipica. Dopotutto, questa è un'università un po 'piccola di cui sto parlando, e potrebbe essere più difficile trovare professori in università più grandi che siano in grado di prendersi più tempo per parlare con te (ho sicuramente scoperto che questo è il caso alla UC Berkeley, che è dove ho fatto il mio undergrad). Tuttavia, penso che questa sia un'opzione che potresti essere interessato a considerare.

Hai un paio di buone risposte su cosa potresti fare. Dovresti anche essere consapevole di ciò che non dovresti fare. Non inviare e-mail non richieste a matematici casuali in cui ti lanci in lunghe discussioni matematiche. Per quanto ingiusto possa essere, ci sono buone probabilità che il tuo messaggio venga rapidamente cancellato come opera di un probabile imbroglione. La maggior parte dei matematici professionisti riceve numerose e-mail di questo tipo (o ai vecchi tempi, lettere fisiche) durante la loro carriera e hanno imparato a non prestarvi troppa attenzione. Se hai un segnale matematico legittimo, non trasmetterlo su un canale che è stato soffocato dal rumore delle manovelle.

L'aspetto positivo del suggerimento di essere attivi su Math Overflow è che questo sarebbe consentono di sviluppare una relazione con matematici professionisti. Ho ricevuto una serie di e-mail non richieste da persone che ho incontrato su Stack Overflow e ho quasi sempre fatto uno sforzo per rispondere. La rappresentanza virtuale che guadagni su Math Overflow comporta una certa quantità di rappresentanza nel mondo reale con i matematici che partecipano a quel forum.

Una buona opzione è assumere matematici che ti aiutino quando hai domande. Molti studenti laureati e alcune persone con il lavoro di dottorato come tutor. Se intendi programmare negli Stati Uniti, dovresti avere il budget. Potresti non entrare in contatto con la prima persona che contatti, ma se vivi vicino a un'università di ricerca dovrebbe esserci qualche opportunità per questo.