Penso che sarò fondamentalmente in disaccordo con molte delle risposte qui.

I bei numeri rendono decisamente i problemi più facili e prendo l'abitudine di usarli quando introduco per la prima volta un concetto; mettono gli studenti più a loro agio e lasciano che si concentrino sull'idea chiave che sto cercando di insegnare. Ma non faccio mai affidamento su bei numeri per i test o i compiti. Ci sono tre ragioni principali qui:

1. Ho avuto molti studenti nel corso degli anni che sinceramente smettono di capire un concetto quando vengono presentati con numeri "brutti". Ad esempio, ho avuto studenti che possono facilmente trovare la media di 2 e 6 ma quando viene chiesto di trovare la media di 2,3 e 6,7 non sanno nemmeno come iniziare. Non si tratta di essere confusi dai calcoli; è che pensano ai numeri "belli" in modo diverso da quelli che pensano a quelli "brutti". Nel caso della media, il problema era probabilmente che lo studente in questione considerava la media come "il numero nel mezzo", non "la somma divisa per due", il che ha senso quando si lavora con numeri interi ma non altrimenti. Il problema è che non puoi catturare errori di comprensione come questo senza usare numeri brutti almeno occasionalmente.
2. Non uno studente universitario e Per Alexandersson ha sottolineato che molti studenti usano il test "bel numero" per dire se la loro risposta è giusta - tendono a fidarsi della risposta se ottengono "2", non tanto se ottengono "2,134". Quindi, dal punto di vista del "sii gentile con i tuoi studenti", dovresti usare dei bei numeri; ma il fatto è che, letteralmente in qualsiasi applicazione avranno per questo materiale più avanti nella vita, non lavoreranno con problemi che sono stati attentamente curati per produrre bei numeri. Se insegni loro qualcosa che ti aspetti che utilizzino in seguito, è un disservizio consentire loro di continuare a utilizzare il test "bel numero".
3. In parole povere, ci sono molti meno numeri "carini" di quelli "brutti". Ho chiesto agli studenti di "risolvere" i problemi presumendo che la risposta fosse un numero intero e poi di indovinare e controllare la loro strada verso il successo.

Detto questo, se usi brutti numeri, devi fare alcune concessioni per farlo funzionare. Ecco cosa faccio:

1. Consento l'uso di calcolatrici scientifiche (non grafiche) su ogni compito e test.
2. Consento risposte non semplificate, tranne quando il problema riguarda la semplificazione; quindi, sono invitati a lasciare la loro risposta come un complicato pasticcio di radicali, se lo desiderano.
3. Li avverto specificamente che i numeri coinvolti in alcuni problemi potrebbero essere disordinati, e io vado per "disordinato" problemi in classe.
4. Mi prendo del tempo in classe per insegnare tecniche per giudicare se la tua risposta è corretta che non si basa sulla gentilezza del numero; il mio preferito è "ballparking", dove usi il contesto della domanda per stimare la dimensione generale della risposta (è positiva o negativa? Più grande di mille? Ecc.).
5. Problemi che coinvolgono I numeri brutti tendono a richiedere più tempo di quelli che coinvolgono numeri carini - anche io trovo che vado più lento quando un problema riguarda strane frazioni o decimali. Tenerne conto quando si scrivono i test.
6. I problemi che coinvolgono numeri brutti sono più soggetti a errori minori rispetto a quelli che coinvolgono numeri carini; per esempio, probabilmente non vuoi contare una risposta in una classe di calcolo come "completamente sbagliata" perché hanno digitato "2.146" invece di "2.156" nella loro calcolatrice. Offro sempre un ampio credito parziale in base al lavoro mostrato e generalmente non contrassegno per errori che non mostrano una mancanza di comprensione o modificano la difficoltà del problema. Per i test online, per far funzionare questo, consento agli studenti di inviare il loro lavoro insieme alle loro risposte.

Scrivi "Penso di avere un metodo per la valutazione automatica, quindi non è un problema". Se vuoi dipendere dalla valutazione automatica, dovresti usare numeri facili e semplici.

Ci sono due modi per ottenere una risposta sbagliata, non ottenere il metodo giusto e fare un errore copiando dalla domanda alla calcolatrice e dalla calcolatrice al foglio delle risposte. Durante la valutazione manuale puoi distinguerli richiedendo agli studenti di mostrare il loro lavoro e valutarlo. La valutazione automatica tende a dare lo stesso peso al non sapere come eseguire un calcolo e all'immissione di una cifra errata.

L'uso di numeri semplici e facilmente controllabili riduce il rischio di errore della calcolatrice.

Mentre una parte di me pensa che i concetti di apprendimento dovrebbero essere gli stessi per i bei numeri e i brutti numeri, la mia esperienza personale dice che c'è una differenza (forse solo una piccola) tra questi due.

Mi aspetto una differenza: i numeri brutti ostacolano l'applicazione e l'apprendimento di un concetto. Ad esempio, media (−1, 0, 1, 2, 3), (½, ⅓, ⅗) e (−1.254, 42.72). Il primo che posso fare nella mia testa, semplicemente applicando il concetto di media, l'aggiunta è banale, la divisione facile, penso solo al concetto. Per gli altri, non penso al concetto, penso a frazioni e addizioni / divisioni più complesse.

Al fine di facilitare un migliore apprendimento e una migliore applicazione del materiale del corso al reale -problemi del mondo, dovresti includere anche i compiti con input e risposte di numeri brutti?

Ho appena sostenuto che i numeri brutti sono un ostacolo all'apprendimento, quindi i bei numeri sono preferibili , imo.

Che ne dici dei test?

Lo stesso. (Inoltre, gli studenti hanno calcolatrici?)

In definitiva, dipende da cosa stai cercando di insegnare.

Poiché questo è un sito web sull'istruzione superiore , risponderò in quel contesto.

L'unica cosa "difficile" dei numeri "brutti" è fare operazioni di base concrete con loro, come aggiungerli e così via. Tutto ciò che è stato fatto fino a questo è tipicamente fatto algebricamente utilizzando variabili ( x , y , z …). Gli studenti universitari dovrebbero già sapere come eseguire operazioni aritmetiche di base, anche con numeri "brutti". Questo non è mai quello che vuoi insegnare nell'istruzione superiore. Quindi lascia che i tuoi studenti usino una calcolatrice o usi numeri "carini" nei tuoi dati. Se sei preoccupato per l'applicabilità nel mondo reale, allora sicuramente sai che oggi tutti coloro che devono eseguire questo tipo di compiti lavorano con un computer che è estremamente più in grado di eseguire calcoli matematici di qualsiasi essere umano.

Come per le domande sui compiti generati dal computer, ho avuto lo sfortunato dovere di farlo la scorsa primavera, come molti di noi, credo. Non è stato particolarmente difficile produrre numeri "belli", anche quando avevo bisogno di produrre sistemi lineari complicati da risolvere, ad esempio. Fai in modo che la tua domanda dipenda da pochi parametri (diciamo 3-5) e assicurati che questi parametri siano considerati numeri interi in un intervallo ragionevole (ad esempio [-5,5]). Quindi, a meno che non diventi pazzo per come si derivano le domande dai parametri, si ottengono principalmente numeri "belli". E poiché presumo che non oseresti fare una domanda agli studenti che non hai nemmeno guardato, quando esegui un controllo superficiale delle domande generate automaticamente prenderesti rapidamente i casi limite.

Voglio che una domanda del test abbia numeri brutti, poiché voglio che gli studenti imparino a fidarsi dei loro calcoli e non usino "la risposta è un bel numero" come metodo di verifica. I numeri brutti sono ottimi per insegnarti a fidarti del metodo e della conoscenza. Ma la maggior parte delle volte sono semplicemente fastidiosi.

Che tipo di studenti insegni? Se insegni a studenti delle scuole elementari o superiori, utilizza il tipo di numeri appropriato al tuo curriculum. Se insegni a studenti di ingegneria, dovresti usare i numeri del mondo reale.

Dici "Durante i miei studi di ingegneria, sembrava che ci fossero molti problemi che avevano input e / o risposte carini. ". Wow, che tipo di ingegneria hai studiato. Dopo la metà della mia prima vera lezione di ingegneria, quasi ogni problema che ho fatto non aveva una soluzione ordinata: abbiamo usato tentativi ed errori per risolvere quasi tutti i problemi (sulle calcolatrici programmabili di prima generazione (si pensi all'HP-25)). I numeri avevano un senso: uno scambiatore di calore potrebbe essere valutato 100.000 BTU / ora, ad esempio, non un numero strano. Ma i tubi che entrano in quell'attrezzatura potrebbero essere di 4 pollici di programma 40 (che hanno un diametro interno di 4,026 pollici - ho sempre avuto un libretto di pianificazione dei tubi a portata di mano, insieme ai tavoli del vapore nella mia borsa). Quando ho usato la costante del gas ideale R, ho sempre usato una versione con 5 cifre significative (e potevo scuotere quei valori di R in 4 o 5 diversi sistemi di unità - ho studiato in Canada nel mezzo del passaggio da imperiale a metrico unità).

Quando insegni, vuoi usare numeri che sfidano i tuoi studenti a pensare e non avere paura di risolvere i problemi che vedranno quando faranno il loro progetto di senior design o quando avranno il loro primo lavoro . Non ha senso usare numeri con molta più precisione di quanto vedranno nei problemi reali, ma li imbrogli se rendi tutto troppo "carino" avendo problemi che presentano numeri interi come input e in particolare interi come output.

Se vuoi davvero metterli alla prova (e convincerli a capire i numeri che stanno usando), convincili a comprare o prendere in prestito un regolo calcolatore e dai loro un test "nessuna calcolatrice consentita" (a proposito, se lo fai , probabilmente vorrai assicurarti che i problemi siano ragionevolmente facili da risolvere utilizzando un regolo calcolatore: molte moltiplicazioni e divisioni e poco altro).

Durante un test, non vuoi che gli studenti siano sempre incerti se hanno ottenuto la risposta giusta o sbagliata quando si tratta di algebra, quindi in genere si preferiscono numeri piacevoli. Inoltre, se vuoi solo metterli alla prova conoscendo i metodi di base e presumi che possano lavorare con numeri più complicati, rendere i numeri disordinati è una distrazione. Per lo meno devi dare agli studenti un'idea di cosa aspettarsi. Se tutte le risposte tranne una hanno risposte carine e l'altra ha una risposta disordinata, gli studenti che ottengono la risposta disordinata (ma corretta) passeranno tutto il loro tempo a ricontrollare la loro algebra, quando potrebbero passare il loro tempo su altri problemi.

Su HW quindi penso che i numeri disordinati vadano bene, ma penso che scrivere "Arrotonda la tua risposta al centesimo più vicino" sarebbe appropriato.

Per le classi di livello inferiore, tuttavia, usare alcuni numeri disordinati a un certo punto sull'HW è una buona idea. Una volta durante un esame finale per il calcolo preliminare, uno studente ha pensato di aver sbagliato a trovare un asintoto verticale perché aveva un numero che non era un intero. Apparentemente gli asintoti verticali possono verificarsi solo a valori interi. Bene, ha guardato di nuovo il suo lavoro e ha avuto un lampo di intuizione quando ha scoperto il suo errore e ha capito che l'asintoto era in realtà un valore intero.

Non sono un educatore. Sono semplicemente un laureato in matematica che lavora nel settore correlato, ma la mia risposta sarebbe un duro no-no sui bei numeri. Alcune risposte affermano che induce gli studenti a usare l'intuizione per sapere se il risultato è corretto. Non esiste assolutamente alcuno scenario in cui l'introduzione sia una buona verifica del risultato che si ottiene (non dico che sia inutile per scegliere il giusto metodo di calcolo). Non si vuole assolutamente insegnare agli studenti a fare affidamento sul risultato che è bello. Un'altra risposta afferma che il loro utilizzo elimina la necessità di verificare i loro calcoli. Questo è un passaggio assolutamente cruciale, dovresti sempre verificare il tuo calcolo almeno una volta. È un processo che non ha mai alcun inconveniente. Altrimenti potresti sentire notizie come "il crollo di un edificio uccide 50 persone perché l'ingegnere civico ha commesso un errore ma il numero sembrava carino, quindi non ha controllato di nuovo".

EDIT: in realtà ho controllato più spesso i miei calcoli quando il risultato era effettivamente buono. Se non fosse stato allora pensavo di aver usato il metodo migliore a cui potessi pensare e il peggio che poteva accadere era perdere un punto per il risultato sbagliato. Fortunatamente avevo principalmente professori e insegnanti che valutavano il metodo, non il risultato.

MODIFICA 2: vuoi insegnare ai tuoi studenti a pensare a una soluzione, non a come giocare con il sistema. Quegli stessi studenti potrebbero imparare a cercare in seguito scappatoie legali per fornire un prodotto completato a metà e talvolta pericoloso invece di fare il previsto (vedi lo scandalo dieselgate, perché lavorare sulla soluzione quando puoi semplicemente giocare il risultato).

Ho l'abitudine di dare per lo più un bel numero di compiti e test. Poiché il numero "per lo più carino" è Sqrt [2], o Log [6] o e ^ 7, per esempio. In questo modo gli studenti possono fornire risposte in forma esatta (senza virgola mobile) senza troppe difficoltà.

Io starei lontano da cose come Sqrt [1 + Sqrt [2]] $ che considero veramente brutte. Gli studenti lo sanno, quindi se ottengono una risposta come Sqrt [21/213] sospettano che ci sia probabilmente qualche bug nel loro calcolo.

Ora ho anche in alcuni compiti dei corsi delle domande che sono interamente numeriche (vg plotting alcune soluzioni ad alcune equazioni differenziali non lineari). Anche in questi casi cercherò di trovare condizioni al contorno "piacevoli" in modo che gli studenti possano verificare se la loro intuizione corrisponde all'output numerico.

C'è un vantaggio pedagogico nell'usare numeri brutti: gli utenti cercheranno di evitarli e impareranno da soli l'algebra nel processo manipolando simboli invece di specifici numeri interi, frazioni o espansioni decimali. L'idea è che tu semplifichi l'espressione il più possibile prima di inserire le cifre reali.

Quindi dipende davvero da cosa stai cercando di insegnare.

A proposito , quello che chiami numero "reale" viene definito "decimali di non interi", che è un nome piuttosto brutto, poiché anche -1, 0, 1/2 o 1 sono numeri reali.

Mi è stato suggerito di trasformare il mio commento in una risposta.

• Utilizza numeri "brutti" per un'intera pagina di compiti.
• Prendi tutti i risultati e aggiungi altri numeri "brutti" come distrattori. Elencali in fondo al foglio di lavoro.

Ciò significa che gli studenti si eserciteranno a lavorare con numeri "brutti". Possono facilmente verificare che nessun errore aritmetico trovando il loro risultato nell'elenco, ma indovinare non otterrà un voto positivo. Se il numero non è nell'elenco, il primo passaggio è controllare se hanno digitato male sulla calcolatrice o hanno sbagliato le somme.

A meno che lo scopo del compito non sia quello di metterli alla prova sulla loro capacità di eseguire operazioni aritmetiche di base, perché non fornire variabili anziché numeri e la risposta dovrebbe essere un'espressione in termini di tali variabili.

Andando da quello a una risposta numerica sono solo alcuni calcoli aritmetici facili ma noiosi.

L'uso di numeri più belli consente di rendere più fluido il calcolo nei test. Penso che questa sia generalmente una buona cosa.

Tuttavia a volte ci sono situazioni in cui vuoi esplicitamente insegnare le basi dei calcoli simbolici, dove ad esempio numeri razionali come 1/3 assicurano che l'attività non possa essere risolta numericamente senza la massima precisione. A volte con le domande di trigonometria potrebbero fare affidamento sul fatto che i risultati intermedi sono espressi in frazioni pi greco.

Uno degli esempi menzionava che quando si chiedeva la media dei numeri, 2.3 e 6.7 testerebbero meglio bei numeri. Tuttavia, direi che questi sono in realtà dei bei numeri poiché si aggiungono a un numero tondo e possono facilmente dividere per 2, quindi il risultato è un 4,5 chiaro senza bisogno di calcolatrice o rischio di errore di arrotondamento.