Sono un matematico puro e la mia prima impressione è che la tua domanda sembra assumere una dicotomia nella matematica pura che in realtà non c'è. La stragrande maggioranza dei matematici puri, mi sembra, a volte ha a che fare con strutture astratte e fa con esse il tipo di "pensiero e ragionamento" che hai visto nei tuoi corsi di analisi e teoria dei gruppi. D'altra parte, in un commento a un'altra risposta hai definito trucchi come "trovare modi intelligenti per provare certe cose / ottenere certi risultati". La mia affermazione è che secondo questa definizione, praticamente tutta la ricerca in matematica pura implica l'applicazione di trucchi. Dopotutto, c'è solo così tanto che puoi fare che sia di interesse per la comunità matematica che può essere ottenuto puramente combinando risultati e definizioni noti in modi semplici.

Tuttavia, devo sottolineare che la matematica pura fa in effetti giacciono su uno spettro quando si tratta di ragionamento astratto contro risoluzione intelligente dei problemi. Il primo approccio alla matematica è forse meglio incarnato da Alexander Grothendieck, che " ha evitato trucchi intelligenti che hanno dimostrato il teorema ma non ha sviluppato intuizione. Ha paragonato il suo approccio all'ammorbidire una noce in acqua in modo che, come ha scritto, può essere sbucciato "come un avocado perfettamente maturo." All'altro estremo ci sono matematici come Paul Erdos, che hanno lavorato in gran parte su problemi concreti che si potevano risolvere usando "trucchi intelligenti". (Anche se va sottolineato che, come ha notato Federico Poloni in un commento, quando si usa un trucco più di una volta diventa un metodo. Il metodo probabilistico di Erdos è nato in questo modo). citazione su questo approccio alla matematica nel saggio di Gowers The Two Cultures of Mathematics:

All'altra estremità dello spettro si trova, per esempio, la teoria dei grafi, dove la oggetto di base, un grafico, può essere immediatamente compreso. Non si arriva da nessuna parte nella teoria dei grafi sedendosi su una poltrona e provando per capire meglio i grafici. Né è particolarmente necessario leggere gran parte della letteratura prima di affrontare un problema: è ovviamente utile essere a conoscenza di alcune delle tecniche più importanti, ma i problemi interessanti tendono ad essere aperti proprio perché le tecniche stabilite non possono essere facilmente applicate.

Detto questo, ribadisco quanto ho detto all'inizio della mia risposta. Questa è in gran parte una falsa dicotomia e la stragrande maggioranza dei matematici deve usare sia trucchi intelligenti che ragionamenti astratti nelle loro ricerche.

Non mi è molto chiaro dove tracciare il confine tra "ragionamento" e "trucco". Posso assicurarti, tuttavia, che la matematica pura diventa molto astratta e molto teorica molto rapidamente.

Quali abilità sono necessarie: prima di tutto, sarai frustrato molto spesso e avrai bisogno che ti piaccia ( un matematico è qualcuno che vuole essere frustrato, piuttosto che annoiato). Molte teorie impiegano anni per essere comprese (almeno per la maggior parte degli esseri umani) e potresti passare mesi senza capire veramente nulla.

In secondo luogo, devi davvero divertirti con quel "ragionamento puro" perché il motivo per cui guardi a una particolare domanda di solito è solo che è "interessante", non che abbia alcun collegamento con la "realtà".

Vorrei aggiungere altri due consigli:

• La matematica pura è un'area in cui è molto difficile entrare come "outsider" e ci sono ragioni perché molti matematici qualificati passano all'informatica o all'ingegneria, ma pochissimi vanno nella direzione opposta.

• Non è probabile che in seguito trovi un lavoro nella matematica pura. La zona è davvero competitiva. Ciò non significa che sarai disoccupato, ma il tuo lavoro futuro probabilmente non sarà fare ricerca in matematica pura.

Benvenuto nel forum! Un matematico, non ricordo che, una volta ha scherzosamente osservato che la matematica applicata era come il lato oscuro, perché i matematici applicati avevano più soldi e vestivano con abiti fantastici, mentre la matematica pura, beh, hai capito, ne sono sicuro. (Penso che stesse scherzando, almeno).

Studiare matematica pura può essere estremamente soddisfacente, intellettualmente se non finanziariamente, ma può anche essere infinitamente frustrante; la matematica pura è in realtà di natura intensamente pratica - nella mia esperienza ci sono sempre buone ragioni pratiche per cui è stato sviluppato un concetto o un metodo, ma spesso può essere difficile da vedere, se questo non viene indicato chiaramente, e buoni matematici possono essere incredibilmente poveri nella comunicazione. La soluzione è continuare a chiedere finché non sei completamente soddisfatto.

Come ingegnere avrai sperimentato che non ci si aspetta che tu capisca effettivamente la matematica a un livello più profondo: devi sapere come usare il strumenti, non come produrli; così impari a fare affidamento sui risultati: i teoremi e le formule. In matematica pura, ciò che devi imparare sono i metodi: spesso le dimostrazioni sono più importanti dei teoremi. È così che puoi andare avanti e scoprire nuovi teoremi e / o sviluppare nuovi metodi.

Quindi, per riassumere, un po 'ironico, gli ingegneri / matematici applicati sono gli utenti degli strumenti, mentre i puri i matematici sono i creatori di strumenti.

Sebbene questo non risponda direttamente alla domanda dell'OP (concordo con una risposta precedente che la domanda presenta una falsa dicotomia della matematica), la mia risposta mira a far luce su ciò che la matematica è e non è.

La matematica è una forma d'arte e il cuore di questa forma d'arte è la prova.

Mentre la scienza si basa sulle prove e sul metodo scientifico, la matematica si basa sull'argomentazione per stabilire i risultati.

L'unico requisito imposto a questi argomenti è che derivino logicamente da assiomi concordati. È qui che appare l'aspetto creativo della forma d'arte: molti matematici premiano le dimostrazioni che fanno luce sul problema e fanno collegamenti con altre aree della matematica (Google la frase 'una breve dimostrazione di' o 'una dimostrazione elementare di ') ed è abbastanza spesso il caso che ci siano molte prove di risultati importanti (ad esempio, l'infinità dei numeri primi o il teorema fondamentale dell'algebra).

Queste abilità possono solo essere acquisite e affinate più o meno allo stesso modo in cui un pittore o un musicista ha acquisito le proprie abilità: la pratica. Dimostra tutto.

La migliore risposta breve che posso dare sulla natura della matematica pura e su ciò che i matematici puri fanno ai livelli più alti è esemplificata, forse la migliore, da David Hilbert nel proporre un insieme (23 o 24, a seconda) di problemi che vale la pena studiare: Problemi di Hilbert.

Ha esaminato ciò che era noto per essere vero in matematica intorno al 1900 e ciò che non era noto. Da tutto ciò cercava cose interessanti e degne di studio. Non aveva prove di nessuna delle cose che proponeva. Dei problemi, alcuni sono ancora irrisolti 120 anni dopo. Alcuni si sono dimostrati impossibili da risolvere. Alcuni hanno prodotto teoremi (dimostrati). Alcuni hanno risultati parziali.

Guarda cosa si sa e dove si trovano i buchi nella conoscenza. Pensa a ciò che è interessante e pensa a ciò che vale lo sforzo di ulteriori studi . Quindi, mettiti al lavoro per determinare la verità di ciò che si può apprendere da queste cose. Alcuni di questo studio si traducono in teoremi proposti. Alcuni di questi possono effettivamente essere dimostrati.

La matematica è una ricerca dell'ignoto e un tentativo di farlo conoscere. Ma c'è anche un filtro di cose "significative o interessanti" che potrebbe valere la pena studiare.

Trucchi, metodi e prove e tutto viene dopo. A volte molto più tardi ea volte per niente. È pura questione mentale.

Qual è il tuo scopo con il tuo puro studio di matematica?

Se approfondisci le tue conoscenze di matematica, va bene. Tuttavia, puoi avere difficoltà poiché i tuoi compagni di classe avranno lauree in matematica, sanno molto di più sulla matematica e vedono la matematica da una prospettiva diversa dalla tua. Prove ovunque.

Gli studenti di matematica pura vivono 24 ore per la matematica, è la loro religione.

Perseguire una carriera di matematica pura è un affare rischioso. Soprattutto se stai cercando un dottorato di ricerca. Devi assorbire grossi pezzi di matematica e trovare un argomento di ricerca che sia interessante, fattibile e tuttavia contenente novità.

Ma se ottieni con successo un master in matematica pura, è sicuramente un buon punto di partenza con il tuo laurea in ingegneria a un dottorato in matematica o informatica applicata.